Bài 4. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3
a) Để hàm số y nghịch biến, ta cần điều kiện (m - 2) < 0. Từ đó, ta có m < 2.
b) Khi m = 3, ta có hàm số y = (3 - 2)x + 3 + 3 = x + 6. Vẽ đồ thị của hàm số y = x + 6.
c) Để chứng minh rằng đường thẳng y = (m – 2)x + m + 3 luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi, ta cần chứng minh rằng đường thẳng này đi qua một điểm cố định khi x thay đổi. Điểm cố định này có tọa độ (0, m + 3). Khi x = 0, ta có y = (m – 2) * 0 + m + 3 = m + 3. Vậy, đường thẳng y = (m – 2)x + m + 3 luôn đi qua điểm cố định (0, m + 3) khi m thay đổi.
d) Để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc bằng 45°, ta cần điều kiện hệ số góc của đường thẳng là 1. Từ đó, ta có m - 2 = 1, suy ra m = 3.
e) Để đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân, ta cần điều kiện hệ số góc của đường thẳng là ±1. Từ đó, ta có m - 2 = ±1, suy ra m = 1 hoặc m = 3.
f) Để đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác diện tích bằng 2, ta cần tính diện tích tam giác và đặt nó bằng 2. Diện tích tam giác có công thức: Diện tích = 1/2 * cạnh đáy * chiều cao. Trong trường hợp này, cạnh đáy là 1 (do đường thẳng cắt trục hoành tại x = 1), và chiều cao là (m - 2) (do đường thẳng cắt trục tung tại y = m + 3). Vậy, ta có phương trình: 1/2 * 1 * (m - 2) = 2. Giải phương trình này, ta tìm được m = 6.
g) Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4, ta cần tìm điểm giao nhau của hai đường thẳng. Đặt (m - 2)x + m + 3 = 3x - 4 và giải phương trình này, ta tìm được m = -1.