Chứng minh BH = DK và H, M, K thẳng hàng. 

a) Ta có MB=MD và BM là đường phân giác của góc ABC, nên BM cũng là đường phân giác của góc MBD. Do đó, tam giác BMC và tam giác DMA có cạnh chung BM và góc BMD bằng nhau. Vậy tam giác BMC= tam giác DMA.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng MD. Ta cần chứng minh AH vuông góc với AD, tức là chứng minh góc EAD=90°.

Vì BM là đường phân giác của góc ABC, nên góc MBC = góc ABC/2.
Vì BM=MD, nên góc BMD = góc MBD = góc ABC/2.

Do đó, tam giác MBC và tam giác MBD là hai tam giác cân có cạnh chung BM và góc BMD bằng nhau. Vậy góc MBC = góc MBD.

Ta có góc EMD = góc MBD - góc EMD = góc MBC - góc EMD = góc EMB.

Vì góc EMD = góc EMB, nên tam giác EMD và tam giác EMB là hai tam giác cân có cạnh chung EM và góc EMD bằng nhau. Vậy góc EDM = góc EMB.

Từ đó, ta có góc EAD = góc EDM + góc MBD = góc EMB + góc MBD = góc EMD + góc MBC = góc EMD + góc MBD = 90°.

Vậy AH vuông góc với AD.

c) Ta có góc ABC = góc MBC + góc MBD = góc MBC + góc DMA = góc BMC + góc DMA = góc CDA.

Vậy góc ABC = góc CDA.

d) Gọi K là giao điểm của đường thẳng CK và đường thẳng AD. Ta cần chứng minh BH=DK và H, M, K thẳng hàng.

Vì BM=MD, nên góc BMD = góc MBD = góc ABC/2.

Vì CK vuông góc với AD, nên góc CKD = 90°.

Ta có góc CKD = góc MBD - góc CKD = góc ABC/2 - góc CKD = góc ABC/2 - 90°.

Vì góc CKD = góc ABC/2 - 90°, nên tam giác CKD và tam giác ABC là hai tam giác cân có cạnh chung CK và góc CKD bằng nhau. Vậy góc CKD = góc ABC/2.

Do đó, góc CKD = góc MBD = góc ABC/2.

Vậy BH=DK và H, M, K thẳng hàng.