a) Ta có AM = MB và AN = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC), nên ta có AM = MB = NC = AN.
Vì AM = AN và MN vuông góc với AB, nên AMNP là hình chữ nhật.

b) Gọi H là giao điểm của tia đối MN với đường thẳng AB.
Ta có MN = MH (do H nằm trên tia đối MN).
Vì AM = AN và MN = MH, nên tam giác AMH và ANM là tam giác đều.
Do đó, AH = AM = AN và HB = HM = MN.
Vậy AHBN là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AN và MP.
Ta cần chứng minh AN, MP, HC đồng quy tại 1 điểm.
Ta có:
- AN // MP (do AMNP là hình chữ nhật, nên AN vuông góc với MP)
- AN // HC (do AHBN là hình thoi, nên AN vuông góc với HC)
Vậy AN, MP, HC đồng quy tại 1 điểm.

d) Điều kiện để tứ giác AHBC là hình thang cân là AH = BC.
Vì AH = AM + MH = AM + MN = AN + NC = AC, nên điều kiện để tứ giác AHBC là hình thang cân là AH = AC.