Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B = 60 độ, phân giác góc B cắt AC tại D. Vẽ DE vuông với BC, tia DE và tia BA cắt nhau tại M, chứng minh:

Để chứng minh các phần a, b, c, d, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các góc phân giác.

a. Ta có góc B = 60 độ và góc BAD là góc phân giác của góc B, nên góc BAD = 30 độ. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAC + góc BAD = 90 độ + 30 độ = 120 độ. Nhưng góc BAC + góc BAD = góc DAC + góc BAD (do góc DAC là góc phân giác của góc BAC). Vậy góc DAC = 120 độ - 30 độ = 90 độ. Kết hợp với góc BAC = 90 độ, ta có tam giác DAC là tam giác vuông cân tại D.

b. Ta có tam giác DAC là tam giác vuông cân tại D, nên AD = DC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AB = AC. Khi đó, ta có BA = AB = AC = AD + DC = AD + AD = 2AD. Vậy BA = 2AD.

c. Ta có góc B = 60 độ và góc BAD là góc phân giác của góc B, nên góc BAD = 30 độ. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAC + góc BAD = 90 độ + 30 độ = 120 độ. Nhưng góc BAC + góc BAD = góc MAC + góc BAD (do góc MAC là góc phân giác của góc BAC). Vậy góc MAC = 120 độ - 30 độ = 90 độ. Kết hợp với góc MBC = 90 độ (do DE vuông với BC), ta có tam giác DBM là tam giác vuông cân tại M.

d. Ta đã chứng minh được tam giác DAC là tam giác vuông cân tại D và BA = 2AD. Vì tam giác DBM là tam giác vuông cân tại M, nên BM = DM. Khi đó, ta có DC = BM + DM = BM + BM = 2BM = 2DA. Vậy DC = 2DA.