Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

Để chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp, ta cần chứng minh tứ giác này có tứ giác điều hòa.

Ta có:
- Tứ giác BCEF là tứ giác điều hòa nếu và chỉ nếu tỉ số các tổng hai tỉ số tứ giác liên tiếp bằng 1.
- Tứ giác BCEF nội tiếp nếu và chỉ nếu tỉ số các tổng hai tỉ số tứ giác liên tiếp bằng -1.

Để chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp, ta cần chứng minh tỉ số các tổng hai tỉ số tứ giác liên tiếp bằng -1.

Gọi G là giao điểm của các đường thẳng AB và CF. Ta cần chứng minh tỉ số các tổng hai tỉ số tứ giác liên tiếp là -1.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC, ta có:
$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BH}{HC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng EF, ta có:
$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

So sánh hai biểu thức trên, ta có:
$\frac{BH}{HC} = \frac{BK}{KC}$

Do đó, tỉ số các tổng hai tỉ số tứ giác liên tiếp là -1.

Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác BCEF nội tiếp.