Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho MA = R. Vē tiếp tuyến MC với đường tròn (O), ( C là tiếp điểm). Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H. Kẻ đường kính CE của đường tròn (O, R)

1. Ta có MA = R = 3cm và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên MC = R = 3cm.
Đường tròn (O) có đường kính AB, nên AB = 2R = 6cm.
Vì CD vuông góc với AB tại H, nên AH = HB = AB/2 = 6/2 = 3cm.
Ta có: AD = AB - AH = 6 - 3 = 3cm.
Vì AD là đường cao của tam giác ACD vuông tại D, nên ta có: CD = 2AD = 2*3 = 6cm.
Vì DE là đường kính của đường tròn (O), nên DE = 2R = 2*3 = 6cm.

2. Ta có: ∠MOC = 90° (do MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Vì MA = R = OC, nên tam giác MOC vuông cân tại O.
Do đó, MD là đường cao của tam giác MOC tại O, nên MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3. Ta có: ME cắt đường tròn (O) tại F (khác E).
Vì MO là đường kính của đường tròn (O), nên MO = 2R = 2*3 = 6cm.
Vì MO = ME, nên tam giác MOE cân tại O.
Do đó, ∠MOF = ∠MEH.
Ta có: HA = HB = 3cm, CD = 6cm.
Vì AH = HB = 3cm, nên HA^2 + HB^2 = 3^2 + 3^2 = 18.
Vì CD = 6cm, nên CD^2/2 = 6^2/2 = 18.
Vì HA^2 + HB^2 + CD^2/2 = 18 + 18 = 36 = 4R^2 (với R = 3cm).
Vậy ta có: HA^2 + HB^2 + CD^2/2 = 4R^2.