Để tìm m để đường thẳng d1 cắt trục tung tại điểm có tung độ là -3, ta thay y = -3 vào phương trình đường thẳng d1:

-3 = (m-1)x + 2m + 1

Đặt x = 0, ta có:

-3 = 2m + 1

2m = -4

m = -2

Vậy m = -2 để đường thẳng d1 cắt trục tung tại điểm có tung độ là -3.

Để vẽ đồ thị hàm số, ta thay m = -2 vào phương trình đường thẳng d1:

y = (-2-1)x + 2(-2) + 1

y = -3x - 3

Đồ thị hàm số y = -3x - 3 là một đường thẳng có độ dốc âm và đi qua điểm (0, -3).

Để chứng tỏ giao điểm đồ thị vừa tìm được với đường thẳng d: y = x + 1 nằm trên trục hoành, ta thay y = 0 vào phương trình đường thẳng d:

0 = x + 1

x = -1

Vậy điểm giao nhau của đồ thị hàm số y = -3x - 3 và đường thẳng d nằm trên trục hoành là (-1, 0).

Để tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d1 đặt giá trị lớn hơn, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm (x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

Ở đây, điểm O có tọa độ (0, 0) và đường thẳng d1 có phương trình y = (m-1)x + 2m + 1.

Thay x0 = 0, y0 = 0 và A = m-1, B = -1, C = 2m + 1 vào công thức khoảng cách, ta có:

d = |(m-1)(0) + (-1)(0) + (2m + 1)| / √((m-1)^2 + (-1)^2)

d = |2m + 1| / √(m^2 - 2m + 1 + 1)

d = |2m + 1| / √(m^2 - 2m + 2)

Để khoảng cách này lớn hơn, ta cần |2m + 1| > 0.

Vậy m có thể là bất kỳ giá trị nào, trừ m = -1/2.