Để chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kì luôn tồn tại ba số có tổng chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng Định lý Dirichlet về phân hoạch tập hợp.

Định lý Dirichlet: Cho một tập hợp gồm n+1 phần tử, nếu ta chia n+1 phần tử này vào n tập con, thì ít nhất một trong các tập con chứa ít nhất 2 phần tử.

Giả sử ta có 5 số nguyên bất kì, ký hiệu là a, b, c, d, e. Ta xét các phần dư khi chia các số này cho 3:

a ≡ x₁ (mod 3)
b ≡ x₂ (mod 3)
c ≡ x₃ (mod 3)
d ≡ x₄ (mod 3)
e ≡ x₅ (mod 3)

Trong đó, x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ là các phần dư khi chia a, b, c, d, e cho 3.

Có 3 trường hợp xảy ra:
1. Có ít nhất 3 số có cùng phần dư khi chia cho 3. Trong trường hợp này, ta chọn 3 số đó và tổng của chúng chia hết cho 3.

2. Có 2 số có cùng phần dư khi chia cho 3. Giả sử chúng là a và b. Ta xét 3 trường hợp:
a) Có ít nhất 1 số khác có phần dư khác với a và b. Trong trường hợp này, ta chọn 3 số đó và tổng của chúng chia hết cho 3.
b) Tất cả các số còn lại đều có cùng phần dư với a và b. Trong trường hợp này, ta chọn a, b và cộng thêm một số khác có phần dư khác với a và b để tổng chia hết cho 3.
c) Tất cả các số còn lại đều có cùng phần dư với a và b, và không có số nào có phần dư khác với a và b. Trong trường hợp này, ta chọn a, b và cộng thêm một số khác có phần dư khác với a và b để tổng chia hết cho 3.

3. Tất cả các số đều có phần dư khác nhau khi chia cho 3. Trong trường hợp này, ta chọn 3 số có phần dư khác nhau để tổng chia hết cho 3.

Từ các trường hợp trên, ta thấy luôn tồn tại ít nhất 3 số có tổng chia hết cho 3. Vậy, ta đã chứng minh được rằng trong 5 số nguyên bất kì luôn tồn tại ba số có tổng chia hết cho 3.