Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, trung tuyến BN. Đường thẳng qua N song song với BC cắt AB tại M đường thẳng qua N và vuông góc với AC cắt BC tại D. Tứ giác BMND là hình gì? Vì sao?

a, Tứ giác BMND là hình chữ nhật. Vì BN là trung tuyến của tam giác ABC, nên BN cắt AC tại điểm I sao cho AI = IC. Mà tam giác ABC vuông tại A, nên I là trung điểm của AC. Do đó, BN song song với MD và BN = MD. Mà BMND là hình chữ nhật nên BM = ND.

b, Ta có BN // MD và BN = MD, nên tam giác BNM cân tại N. Mà BN là trung tuyến của tam giác ABC, nên BN = 1/2 BC = 1/2 * 10 = 5 cm. Vì tam giác BNM cân tại N, nên MN = BM = 5 cm.

c, Ta có CA = 2CF, nên CF = 1/2 CA. Gọi G là giao điểm của AE và IF. Ta cần chứng minh AE, IF, BC đồng quy, tức là điểm G nằm trên đường thẳng BC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCI và đường thẳng IF, ta có:
(BE/EC) * (CI/IB) * (FG/GI) = 1
Vì BI = IE = EN, nên (CI/IB) = 1. Ta cần chứng minh BE/EC = FG/GI.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCI và đường thẳng AE, ta có:
(BE/EC) * (CI/IB) * (AG/GI) = 1
Vì BI = IE = EN, nên (CI/IB) = 1. Ta cần chứng minh BE/EC = AG/GI.

So sánh hai phương trình trên, ta có FG = AG. Mà G là giao điểm của AE và IF, nên G nằm trên đường thẳng IF.

Vậy ta đã chứng minh AE, IF, BC đồng quy.