Tam giác ABC có AB = AC. Kẻ AI vuông góc với BC. Trên BC lấy D, E sao cho BD = CE nhỏ hơn BC phần 2. Đường thẳng kẻ qua P vuông góc với BC cắt AB tại M

Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học tam giác.

a) Ta cần chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
Gọi G là giao điểm của AI và BC.
Ta có: AB = AC (đề bài cho)
Vì AI vuông góc với BC nên AG là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, BG = CG (đường cao chia đôi cạnh đáy)
Vậy, G là trung điểm của BC.
Vì vậy, ta có AG = GI = IC.
Do đó, AI là tia phân giác của góc BAC.

b) Ta cần chứng minh tam giác DBM = tam giác ECN.
Ta có: BD = CE (đề bài cho)
Vì BD = CE và BM vuông góc với BD, CN vuông góc với CE nên tam giác DBM và tam giác ECN có cạnh chung và 2 góc vuông bằng nhau.
Vậy, tam giác DBM = tam giác ECN.

c) Ta cần chứng minh tam giác DME = tam giác END.
Ta có: BD = CE (đề bài cho)
Vì BD = CE và DM vuông góc với BD, EN vuông góc với CE nên tam giác DME và tam giác END có cạnh chung và 2 góc vuông bằng nhau.
Vậy, tam giác DME = tam giác END.

d) Ta cần chứng minh A, H, I thẳng hàng.
Ta sẽ chứng minh A, H, I đồng quy.
Gọi K là giao điểm của AI và ME.
Ta cần chứng minh K nằm trên DN.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DNE và đường thẳng KMH, ta có:
$\frac{KM}{KH} \cdot \frac{IH}{IE} \cdot \frac{NE}{ND} = 1$
Vì tam giác DME = tam giác END (phần c) nên $\frac{IE}{NE} = \frac{ID}{ND}$
Vậy, $\frac{KM}{KH} \cdot \frac{IH}{ID} = 1$
Do đó, ta có K, H, I thẳng hàng.
Vậy, A, H, I thẳng hàng.

Vậy, các phần a), b), c), d) đã được chứng minh.