Chứng minh N là trung điểm của PQ

a) Ta có BN = ND, N là trung điểm của AC, suy ra AD // BC (do đường chéo chia đôi tứ giác).

Gọi M là giao điểm của AP và BC. Ta cần chứng minh N là trung điểm của PQ, tức là NP = NQ.

Áp dụng định lí Thales trong tam giác ABC, ta có:

BM/CM = AB/AC = BN/ND

Vì BN = ND, suy ra BM = CM.

Do đó, M là trung điểm của BC.

Khi đó, ta có:

NP/PM = AN/AM (định lí Thales trong tam giác ANM)

NQ/QM = AD/DM (định lí Thales trong tam giác ADM)

Vì AN = AD (do NA // BC và AD // BC), AM = DM (do M là trung điểm của BC), suy ra NP/PM = NQ/QM.

Vậy N là trung điểm của PQ.

b) Để tứ giác ABCD là hình vuông, ta cần và đủ có các điều kiện sau:

- AB = BC = CD = DA (cạnh của hình vuông bằng nhau)

- Góc ABC = 90 độ (cạnh BC vuông góc với cạnh AB)

- Góc BCD = 90 độ (cạnh CD vuông góc với cạnh BC)

- Góc CDA = 90 độ (cạnh DA vuông góc với cạnh CD)