Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC

a) Ta có ME là đường phân giác của tam giác AMB, do đó góc MEB = góc MBE. Tương tự, ta có góc MFC = góc MCF.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Do đó, góc MBE = góc MCF.

Từ đó, ta có góc MEB = góc MCF.

Vì ME là đường phân giác của tam giác AMB, nên góc MEB = góc MBA.

Tương tự, vì MF là đường phân giác của tam giác AMC, nên góc MCF = góc MCA.

Do đó, góc MBA = góc MCA.

Từ đó, ta có EF//BC (do cặp góc đồng quy).

Đồng thời, ta có BM = MC (M là trung điểm của BC), nên EF = BC (do đường phân giác chia đôi cạnh đối diện).

Vậy tứ giác EFCB là hình thang.

b) Gọi N là trung điểm của AD. Ta cần chứng minh ACDB là hình bình hành, tức là AC // BD và AD // BC.

Ta có MD = MA (theo đề bài), và M là trung điểm của BC, nên MD // BC.

Vì ME là đường phân giác của tam giác AMB, nên góc MEB = góc MBA.

Tương tự, vì MF là đường phân giác của tam giác AMC, nên góc MFC = góc MCA.

Do đó, góc MBA = góc MCA.

Từ đó, ta có góc MEB = góc MFC.

Vậy EF // BC (do cặp góc đồng quy).

Vì M là trung điểm của BC, nên EF = BC.

Do đó, EFBC là hình thang.

Từ EF // BC và EFBC là hình thang, ta có AC // BD (do hai đường chéo của hình thang cắt nhau thành cặp góc đồng quy).

Vậy tứ giác ACDB là hình bình hành.