Tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?

a, Tứ giác ANMP là hình chữ nhật. Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC. Do đó, AM = MC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc MAB = góc MAC = 90 độ. Vì vậy, góc MAN = góc MAP = 90 độ. Từ đó suy ra ANMP là hình chữ nhật.

b, Ta có AM = MC (vì M là trung điểm của BC) và góc MAB = góc MAC = 90 độ. Vì vậy, tam giác AMB và tam giác AMC là tam giác vuông cân. Từ đó suy ra NA = NB và PA = PC.

Tứ giác BMPN là hình bình hành vì MN và BP là hai đường chéo của hình chữ nhật ANMP và chúng cắt nhau ở trung điểm của hai đường chéo.

c, Gọi H là giao điểm của đường cao AH và đường thẳng MN. Ta có MK // AH (do MK // BC và AH là đường cao của tam giác ABC). Vì vậy, góc MKH = góc BAC = góc MAB = 90 độ. Từ đó suy ra BK vuông góc với HN.

Ta cũng có MP // AH (do MP vuông góc với AC và AH là đường cao của tam giác ABC). Vì vậy, góc MPH = góc BAC = góc MAC = 90 độ. Từ đó suy ra BK // HP.

d, Ta đã chứng minh được NA = NB và PA = PC. Vì tứ giác ANMP là hình chữ nhật, nên AN // MP. Vì vậy, tứ giác MPNH là hình thang cân (hai cạnh bên MP và NH bằng nhau).