Cho đường tròn (O;R)

Để chứng minh các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng các định lý về tiếp tuyến và đường tròn.

1. Ta có M, A, O, B thuộc đường tròn (O;R):
- Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MAB = góc MBA = 90 độ.
- Vì AB là tiếp điểm của đường tròn (O), nên góc MOB = 90 độ.
- Vậy ta có 4 điểm M, A, O, B thuộc đường tròn (O;R).

2. Ta cần chứng minh CM * MN^2 = MF * NA và MN = NH:
- Ta có góc MOB = 90 độ và góc MAB = 90 độ, nên góc MOA = góc MOB + góc BOA = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
- Vậy ta có đường thẳng MO // AB.
- Do đó, ta có góc MEF = góc MOA = 180 độ.
- Từ đó, ta có góc MEF = góc MFA = 180 độ.
- Vậy ta có tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác MEFN, ta có: ME * NF + MF * NE = MN * EF.
- Vì tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp, nên EF = 0, nên ta có: ME * NF = MN * EF.
- Từ đó, ta có: CM * MN^2 = CM * ME * NF = MF * NE * NA = MF * NA.
- Vậy ta có CM * MN^2 = MF * NA.
- Ta cũng có MN = NH (vì MN là đường cao của tam giác MAB, và H là giao điểm của MO và AB).
- Vậy ta có MN = NH.

3. Ta cần chứng minh HB^2/HF^2 - EF^2/MF = 1:
- Áp dụng định lý hình học của đường tròn ngoại tiếp, ta có: HB * HA = HF * HE.
- Từ đó, ta có: HB/ HF = HE/ HA.
- Vì MO // AB, nên ta có: góc MOA = góc MAB = 90 độ.
- Từ đó, ta có góc MOA = góc MOB + góc BOA = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
- Vậy ta có đường thẳng MO // AB.
- Do đó, ta có góc MEF = góc MOA = 180 độ.
- Từ đó, ta có góc MEF = góc MFA = 180 độ.
- Vậy ta có tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác MEFN, ta có: ME * NF + MF * NE = MN * EF.
- Vì tứ giác MEFN là tứ giác nội tiếp, nên EF = 0, nên ta có: ME * NF = MN * EF.
- Từ đó, ta có: HB * HA = HF * HE = HF * (HE + EF) = HF * (ME + EF) = HF * MF.
- Vậy ta có HB/ HF = MF/ HE.
- Từ đó, ta có HB^2/HF^2 - EF^2/MF = (MF/ HE)^2 - EF^2/MF = (HB/ HF)^2 - EF^2/MF = 1.
- Vậy ta có HB^2/HF^2 - EF^2/MF = 1.

Vậy các điều kiện đã cho được chứng minh.