Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; 3cm). Trên tiếp tuyến d tại A của (O) lấy điểm B sao cho AB = 3√3 cm

a) Ta có AB = 3√3 cm và OA = OB (vì OA và OB là bán kính của đường tròn (O)), suy ra OA = OB = 3 cm.
Gọi góc ABO là α. Ta có tam giác ABO là tam giác đều (vì OA = OB), do đó góc AOB = 60°.
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A, nên góc AOB là góc ngoại tiếp của tam giác AOB, do đó góc ABO = 180° - góc AOB = 180° - 60° = 120°.

b) Gọi M là trung điểm của AB. Ta cần chứng minh AM vuông góc với OB và I là trung điểm của AM.
Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB = 3√3/2 cm.
Vì tam giác AOB là tam giác đều, nên góc AOB = 60°.
Vì tam giác AOM là tam giác vuông tại M, nên góc OMA = 90° - góc AOM = 90° - 60° = 30°.
Vì tam giác OBI là tam giác vuông tại I, nên góc OIB = 90° - góc OBI = 90° - 30° = 60°.
Vậy góc OIB = góc AOB, suy ra OB II AM.
Vì M là trung điểm của AB, nên I là trung điểm của AM.

c) Ta cần chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Vì tam giác AOB là tam giác đều, nên góc AOB = 60°.
Vì tam giác OBM là tam giác vuông tại M, nên góc OMB = 90° - góc OBM = 90° - 60° = 30°.
Vì tam giác OMB có góc OMB = 30°, suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Gọi N là giao điểm của OB và đường tròn (O).
Ta cần chứng minh OB II AN.
Vì tam giác AOB là tam giác đều, nên góc AOB = 60°.
Vì tam giác OBN là tam giác vuông tại N, nên góc ONB = 90° - góc OBN = 90° - 60° = 30°.
Vì tam giác ONB có góc ONB = 30°, suy ra OB II AN.