Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có M là trung điểm của BC. Vẽ MD, ME lần lượt vuông góc với AB, AC tại D và E

a) Chứng minh ADME là hình chữ nhật:
Ta có:
- MD vuông góc với AB (theo định nghĩa).
- ME vuông góc với AC (theo định nghĩa).
- AD song song với ME (vì AD và ME đều vuông góc với AB).
- AM song song với DE (vì AM và DE đều vuông góc với BC).
Vậy ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Gọi K là điểm đối xứng với M qua E. Ta có:
- Điểm đối xứng của M qua E là K (theo định nghĩa).
- AM và AK là hai đường thẳng cắt nhau tại A (theo định nghĩa).
- AM và AK cùng đi qua M (vì K là điểm đối xứng của M qua E).
- AM và AK cùng đi qua A (vì A là đỉnh của tam giác ABC).
Vậy ta có tứ giác AMCK là hình bình hành.

Ứng minh: Tứ giác ADME là hình chữ nhật:
Ta đã chứng minh ở câu a) rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Ứng minh: Tứ giác AMCK là hình bình hành:
Ta đã chứng minh ở câu b) rằng tứ giác AMCK là hình bình hành.

i) O là giao điểm của AM và DE, H là hình chiếu của M trên AK. Chứng minh: HD = HE.
Ta có:
- AM và AK là hai đường thẳng cắt nhau tại A (theo định nghĩa).
- O là giao điểm của AM và DE (theo định nghĩa).
- M là trung điểm của BC (theo định nghĩa).
- H là hình chiếu của M trên AK (theo định nghĩa).
Vậy ta có tứ giác AMOH là hình chữ nhật (vì HD = HE).

ii) Chứng minh: HD = HE.
Ta đã chứng minh ở câu i) rằng tứ giác AMOH là hình chữ nhật.
Vậy ta có HD = HE (vì đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau).