Để chứng tỏ a chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số hạng của a chia hết cho 3.

Ta có: a = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Đặt S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Nhân cả hai vế của S với 2, ta được:

2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110

Trừ cả hai vế của 2S cho S, ta có:

2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109)

Simplifying, we get:

S = 2^110 - 1

Ta thấy rằng 2^110 - 1 chia hết cho 3, vì 2^110 - 1 = (2^3)^36 - 1 = (2^3 - 1)(2^3^35 + 2^3^34 + ... + 1), và 2^3 - 1 = 7 chia hết cho 3.

Vì vậy, a = S chia hết cho 3.

Để chứng tỏ a chia hết cho 7, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số hạng của a chia hết cho 7.

Ta có: a = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Đặt S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Nhân cả hai vế của S với 2, ta được:

2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110

Trừ cả hai vế của 2S cho S, ta có:

2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109)

Simplifying, we get:

S = 2^110 - 1

Ta thấy rằng 2^110 - 1 chia hết cho 7, vì 2^110 - 1 = (2^6)^18 - 1 = (2^6 - 1)(2^6^17 + 2^6^16 + ... + 1), và 2^6 - 1 = 63 chia hết cho 7.

Vì vậy, a = S chia hết cho 7.

Để chứng tỏ a + 1 là một số chính phương, ta sẽ chứng minh rằng a + 1 có dạng k^2 với k là một số nguyên.

Ta có: a = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Đặt S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109

Nhân cả hai vế của S với 2, ta được:

2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110

Trừ cả hai vế của 2S cho S, ta có:

2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^110) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^109)

Simplifying, we get:

S = 2^110 - 1

Ta thấy rằng 2^110 - 1 có dạng k^2 với k = 2^55, vì (2^55)^2 = 2^110.

Vì vậy, a + 1 = S + 1 = 2^110 - 1 + 1 = 2^110 có dạng k^2 với k = 2^55.

Vậy a + 1 là một số chính phương.