Để giải quyết bài toán, ta cần vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác ABC với AB < AC.
2. Vẽ đường thẳng BC và gọi D là trung điểm của BC.
3. Vẽ đường thẳng MC và BN sao cho MI = NK.
4. Gọi I là giao điểm của đường thẳng MC và đường thẳng AB.
5. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BN và đường thẳng AC.

Sau khi vẽ hình, ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán:

a) Chứng minh: BM = CN
Ta có:
BD = CD (D là trung điểm của BC)
MI = NK (theo đề bài)
Vì BM = BD + DM và CN = CD + DN
Vậy BM = CN.

b) Chứng minh: MC // BN và MC = BN
Ta có:
MI = NK (theo đề bài)
BM = CN (đã chứng minh ở câu a)
Vậy ta có hai tam giác BMN và CMI là hai tam giác cân có cạnh đáy BM = CN và cạnh chung MI = NK.
Do đó, ta có MC // BN và MC = BN.

c) Chứng minh: ∆ BCM = ∆ CBN
Ta có:
BM = CN (đã chứng minh ở câu a)
MC = BN (đã chứng minh ở câu b)
Vậy ta có hai tam giác BCM và CBN là hai tam giác cân có cạnh đáy BM = CN và cạnh chung MC = BN.
Do đó, ta có ∆ BCM = ∆ CBN.

d) Chứng minh: D là trung điểm của IK
Ta có:
D là trung điểm của BC (điều kiện đã cho)
MI = NK (theo đề bài)
Vậy ta có hai tam giác BMI và CNK là hai tam giác cân có cạnh đáy BM = CN và cạnh chung MI = NK.
Do đó, ta có D là trung điểm của IK.

Vậy, ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.