a) Ta có OP = 3R và PM là tiếp tuyến của đường tròn (O), vậy PM vuông góc với OP. Khi đó, tam giác OPM là tam giác vuông tại P. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OPM, ta có:

PM^2 = OP^2 - OM^2 = (3R)^2 - R^2 = 9R^2 - R^2 = 8R^2.

Vậy PM = √(8R^2) = 2√2R.

b) Gọi N là tiếp điểm của PN với đường tròn (O). Ta có:

∠PNO = 90° (do PN là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Vì ON là đường kính của đường tròn (O), nên ∠ONM = 90°.

Do đó, ∠PNO = ∠ONM = 90°.

Vậy tứ giác PONM là tứ giác nội tiếp, nên PN.PH = PM^2 (định lý tứ giác nội tiếp).

c) Gọi I là trung điểm của PM. Ta cần chứng minh rằng IH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vì I là trung điểm của PM, nên IM = IP = PM/2 = √2R.

Vì tam giác OPM là tam giác vuông tại P, nên OP vuông góc với PM. Khi đó, OP cũng vuông góc với IM.

Vậy tam giác OIM là tam giác vuông tại I, nên ∠OIM = 90°.

Do đó, IH là đường cao của tam giác OIM, nên IH vuông góc với OM.

Vậy IH là tiếp tuyến của đường tròn (O).