Cho (O) và (O') cắt nhau tại A,B (O nằm trên (O')). Lấy M thuộc (O') và M ở trong (O). Tia AM,BM cắt (O) lần lượt tại C,D. CM: Cung AB < Cung CD (cung nhỏ(O))

a) Ta có:
- Vì M thuộc (O') nên AM là tiếp tuyến của (O') tại M.
- Vì O nằm trên (O') nên OA cũng là tiếp tuyến của (O') tại A.
- Vì OA và AM là tiếp tuyến của (O') nên OA // AM.
- Tương tự, OB // BM.
- Do đó, ta có tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp.
- Vì tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp nên góc OMA = góc OBA và góc OMB = góc OAB.
- Vì góc OMA = góc OBA và góc OMB = góc OAB nên tứ giác OMAO' là tứ giác đồng dạng với tứ giác OBAM.
- Từ đó suy ra tứ giác OMAO' và tứ giác OBAM là tứ giác đồng dạng.
- Vậy, ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{CM}{CB} = \frac{OM}{OB} = \frac{OM}{OA}$.
- Vì M nằm trong (O) nên OM < OA.
- Do đó, $\frac{CM}{CB} < 1$.
- Từ đó suy ra cung AB < cung CD (cung nhỏ (O)).

b) Ta có:
- Vì tứ giác OMAO' và tứ giác OBAM là tứ giác đồng dạng nên góc OMA = góc O'AM và góc OMB = góc O'BM.
- Vì góc OMA = góc O'AM và góc OMB = góc O'BM nên tứ giác OMAO' và tứ giác OBAM là tứ giác cân.
- Vậy, ta có tứ giác ABCD là hình thang cân.