Cho ma trận A=( 2 1 / -1 4). Tính A^2022​​

Để tính A^2022, ta cần tìm cách biểu diễn ma trận A dưới dạng A = PDP^(-1), trong đó D là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng của A và P là ma trận chứa các vector riêng của A.

Đầu tiên, ta tìm các giá trị riêng của A bằng cách giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0, trong đó I là ma trận đơn vị.

det(A - λI) = det((2 - λ) 1 / -1 (4 - λ))
= (2 - λ)(4 - λ) - (-1)(1)
= λ^2 - 6λ + 9
= (λ - 3)^2

Phương trình đặc trưng trở thành (λ - 3)^2 = 0, có nghiệm kép λ = 3.

Tiếp theo, ta tìm vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3 bằng cách giải hệ phương trình (A - 3I)v = 0.

(A - 3I)v = ((2 - 3) 1 / -1 (4 - 3))v
= (-1 1 / -1 1)v
= (0 0 / 0 0)v

Ta thấy rằng vector v = (1 1) là một vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3.

Vậy, ta có A = PDP^(-1), trong đó P = (1 1 / 1 1) và D = (3 0 / 0 3).

Tiếp theo, ta tính A^2022 bằng cách thay thế A = PDP^(-1) vào công thức A^2022 = PD^2022P^(-1).

D^2022 = (3^2022 0 / 0 3^2022) = (3^2022 0 / 0 3^2022)

Vậy, A^2022 = P(3^2022 0 / 0 3^2022)P^(-1).

Ta tính được P^(-1) = (1 -1 / -1 1).

A^2022 = (1 1 / 1 1)(3^2022 0 / 0 3^2022)(1 -1 / -1 1)
= (3^2022 + 3^2022 3^2022 - 3^2022 / 3^2022 - 3^2022 3^2022 + 3^2022)
= (2 * 3^2022 2 * 3^2022 / 2 * 3^2022 2 * 3^2022)
= (2 2 / 2 2)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (2 * 3^2022 2 * 3^2022 / 2 * 3^2022 2 * 3^2022)
= (2^2 * 3^2022 2^2 * 3^2022 / 2^2 * 3^2022 2^2 * 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^2022 0 / 0 3^2022)
= (4 * 3^2022 4 * 3^2022 / 4 * 3^2022 4 * 3^2022)
= (4 4 / 4 4)(3^202