Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D

a) Ta có AD = 1/2 DC. Vì I là trung điểm của AM, nên AI = IM. Ta cần chứng minh AI = ID.
Vì AI = IM và AD = 1/2 DC, ta có:
AI/AD = IM/DC
AI/(1/2 DC) = IM/DC
AI = 1/2 IM
Vậy AI = ID.
Do đó, I là trung điểm của AM.

b) Ta có I là trung điểm của AM, nên AI = IM. Ta cần chứng minh AD = 1/2 DC và ID = 1/4 BD.
Vì AI = IM, ta có:
AI/AD = IM/DC
AI/(1/2 DC) = IM/DC
AI = 1/2 IM
Vậy AI = ID.
Do đó, AD = 1/2 DC và ID = 1/4 BD.

c) Ta có AD = 1/2 DC. Lấy điểm E trên cạnh AB sao cho AB = 3 AE.
Ta cần chứng minh BD, CE, AM đồng quy.
Gọi F là giao điểm của BD và CE.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng FED, ta có:
(AF/FE) * (EC/CD) * (BD/AB) = 1
Vì AB = 3 AE, nên BD/AB = BD/3 AE = (1/3) * (BD/AE)
Thay vào phương trình trên, ta có:
(AF/FE) * (EC/CD) * (1/3) * (BD/AE) = 1
(AF/FE) * (EC/CD) * (BD/AE) = 3
Vì AI = IM, nên (AF/FE) = (AI/IM) = 1
Thay vào phương trình trên, ta có:
(EC/CD) * (BD/AE) = 3
(EC/CD) = 3/(BD/AE) = 3/(BD/3) = 9/BD
Vậy EC/CD = 9/BD.
Do đó, BD, CE, AM đồng quy.