a) Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có AM là trung tuyến nên AM = MC = 1/2 * AC = 1/2 * 4 = 2cm.
Theo định lý Pythagoras, ta có BC = √(AC^2 - AB^2) = √(4^2 - 3^2) = √(16 - 9) = √7 cm.

b) Ta có AM = MC và AH = HK (vì tam giác ABC vuông tại A), nên tứ giác AHMK là hình chữ nhật vì có 4 cạnh bằng nhau và 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

c) Vì MH = ME, nên tứ giác BMAE là hình vuông vì có 4 cạnh bằng nhau và 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

d) Để tứ giác BMAE là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là tam giác ABC là tam giác vuông tại A.