a) Để chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn và OA ⊥ BC, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tiếp điểm của đường tròn.

Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, góc BAC = góc BOC = 90 độ.

Vì góc BAC = góc BOC = 90 độ, nên tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Do đó, bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn và OA ⊥ BC.

b) Để chứng minh BE ⊥ AD và AD.AE = AH.AO, ta sử dụng tính chất của đường kính và tiếp điểm của đường tròn.

Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất của đường kính, góc BDA = 90 độ.

Vì góc BDA = 90 độ, nên BE ⊥ AD.

Vì tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, nên góc BOC = góc BAC = 90 độ.

Vì góc BOC = 90 độ, nên tứ giác BCOH là tứ giác nội tiếp.

Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có AD.AE = AH.AO.

c) Để chứng minh HC² = HK.HI, ta sử dụng tính chất của đường thẳng vuông góc và đường thẳng chia đôi đoạn thẳng.

Vì OA ⊥ BC và OD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất của đường thẳng vuông góc, ta có OD ⊥ BC.

Vì OD ⊥ BC và AD ⊥ BC, nên AD // OD.

Vì AD // OD và đường thẳng qua O vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại I, nên I là trung điểm của BC.

Vì K là giao điểm của AD và BC, nên theo tính chất của đường thẳng chia đôi đoạn thẳng, ta có CK = 2IK và CI = 2IK.

Vì tứ giác BCOH là tứ giác nội tiếp, nên góc BOC = góc BHC.

Vì góc BOC = góc BHC và BC // HI, nên theo tính chất của góc đồng quy, ta có HC² = HK.HI.

Từ đó, suy ra 2/BC = 1/CK - 1/CI.