Bài 1:
Giả sử có 10 người tuổi lần lượt là a1, a2, ..., a10.
Ta xét tổng số hoặc hiệu số tuổi của 2 người bất kỳ:
- Tổng số tuổi: ai + aj (i ≠ j)
- Hiệu số tuổi: ai - aj (i ≠ j)

Ta có 9 cặp tổng số tuổi và 9 cặp hiệu số tuổi. Tổng số tuổi và hiệu số tuổi của mỗi cặp đều là một số nguyên.

Ta chia các cặp tổng số tuổi và các cặp hiệu số tuổi cho 17, ta được các phần dư từ 0 đến 16.

Nếu có 2 cặp tổng số tuổi hoặc 2 cặp hiệu số tuổi có cùng phần dư, tức là tổng số hoặc hiệu số tuổi của 2 người tương ứng chia hết cho 17.

Nếu không có 2 cặp tổng số tuổi hoặc 2 cặp hiệu số tuổi có cùng phần dư, tức là các phần dư của các cặp tổng số tuổi và các cặp hiệu số tuổi là 17 phần tử khác nhau từ 0 đến 16.

Vậy, trong số 10 người bất kỳ luôn tồn tại 2 người có tổng số hoặc hiệu số tuổi của họ chia hết cho 17.

Bài 2:
Giả sử có 6 điểm A, B, C, D, E, F trong mặt phẳng, không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Ta xét các đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF.

Có tổng cộng 15 đoạn thẳng.

Ta tô mỗi đoạn thẳng bằng 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ.

Giả sử không tồn tại 3 điểm trong số 6 điểm trên sao cho 3 điểm đó là 3 đỉnh của tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu.

Xét 3 điểm bất kỳ A, B, C. Ta có 3 trường hợp:
1. AB, AC, BC được tô cùng màu.
2. AB, AC, BC được tô khác màu.
3. AB, AC, BC được tô màu khác nhau.

- Trường hợp 1: AB, AC, BC được tô cùng màu. Giả sử đó là màu xanh. Khi đó, các đoạn thẳng AD, AE, AF đều được tô màu đỏ. Điều này dẫn đến AB, AD, AE, AF được tô cùng màu đỏ, tạo thành một tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

- Trường hợp 2: AB, AC, BC được tô khác màu. Giả sử AB màu xanh, AC màu đỏ, BC màu xanh. Khi đó, các đoạn thẳng AD, AE, AF đều được tô màu đỏ. Điều này dẫn đến AB, AD, AE, AF được tô cùng màu đỏ, tạo thành một tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

- Trường hợp 3: AB, AC, BC được tô màu khác nhau. Giả sử AB màu xanh, AC màu đỏ, BC màu xanh. Khi đó, các đoạn thẳng AD, AE, AF đều được tô màu đỏ. Điều này dẫn đến AB, AD, AE, AF được tô cùng màu đỏ, tạo thành một tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

Vậy, giả sử không đúng. Tức là tồn tại 3 điểm trong số 6 điểm trên sao cho 3 điểm đó là 3 đỉnh của tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu.