a) Ta có AM = MC (do M là trung điểm của AC) và MF = FE (do M là trung điểm của EF).
Ta cũng có góc MAF = góc MCA (do hai góc này là góc vuông chung).
Vậy theo định lí hai góc bằng nhau, ta có tam giác AFE và tam giác AMC đồng dạng.
Do đó, ta có AE // MC và EF // AC.
Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta có tam giác AFE và tam giác AMC đồng dạng (đã chứng minh ở câu a).
Vậy tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh là:
AF/AM = EF/MC
Vì M là trung điểm của AC, nên MC = AM/2.
Vậy tỉ số giữa AF và AM là:
AF/AM = EF/(AM/2)
AF/AM = 2EF/AM
Vậy AF = 2EF.

c) Gọi G là giao điểm của đường thẳng AH và FK.
Ta có AG // FK (do AH // FK theo đề bài).
Vì AG // FK và AC là đường chéo của tứ giác ACGF, nên theo định lí Thales, ta có:
AG/AC = GK/FK
Vì AG = AC/2 (do G là trung điểm của AC), nên ta có:
AC/2AC = GK/FK
1/2 = GK/FK
Vậy GK = FK/2.

d) Gọi N là trung điểm của AF và D là giao điểm của PQ và FC.
Ta cần chứng minh rằng ba điểm K, D, N thẳng hàng.
Ta có GK = FK/2 (đã chứng minh ở câu c) và FN = NF (do N là trung điểm của AF).
Vậy ta có:
GK = FN/2
Vậy ta có tỉ số giữa GK và FN là:
GK/FN = 1/2
Vậy theo định lí hai tỉ số bằng nhau, ta có:
GK/FN = FK/ND
1/2 = FK/ND
Vậy ta có FK = 2ND.
Vậy ba điểm K, D, N thẳng hàng.