Cho tam giác ABC có góc A =90 độ

a) Ta có BA = BA, và góc B là góc phân giác của góc BAC, nên góc BAE = góc CAE.
Do đó, tam giác ABD và tam giác EBD có cạnh AB chung và góc BAE = góc CAE, nên theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABD = tam giác EBD.
Vì góc BAE = góc CAE, nên góc BAE + góc CAE = 180°.
Do đó, góc BAE + góc EAC + góc ECA = 180°.
Vì góc BAE = góc EAC + góc ECA, nên góc BAE = góc EAC + góc ECA.

b) Gọi F là giao điểm của AB và DE. Ta cần chứng minh AF = CE.
Vì góc BAE = góc EAC + góc ECA, nên góc BAE + góc EAC = góc ECA.
Vì góc BAE = góc EAC, nên góc BAE + góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAF = góc ECA, nên góc BAE + góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAE + góc BAF = góc ECA, nên góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAF = góc ECA, nên tam giác BAF và tam giác ECA có cạnh BA chung và góc BAF = góc ECA, nên theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác BAF = tam giác ECA.
Vì tam giác BAF = tam giác ECA, nên AF = CE.

c) Gọi I là trung điểm của CF. Ta cần chứng minh B, D, I thẳng hàng.
Vì I là trung điểm của CF, nên CI = IF.
Vì góc BAE = góc EAC + góc ECA, nên góc BAE + góc EAC = góc ECA.
Vì góc BAE = góc EAC, nên góc BAE + góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAF = góc ECA, nên góc BAE + góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAE + góc BAF = góc ECA, nên góc BAF = góc ECA.
Vì góc BAF = góc ECA, nên tam giác BAF và tam giác ECA có cạnh BA chung và góc BAF = góc ECA, nên theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác BAF = tam giác ECA.
Vì tam giác BAF = tam giác ECA, nên BF = EC.
Vì CI = IF và BF = EC, nên tam giác BCF và tam giác ECI có cạnh BC chung và CI = IF, BF = EC, nên theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, ta có tam giác BCF = tam giác ECI.
Vì tam giác BCF = tam giác ECI, nên góc BCF = góc ECI.
Vì góc BCF = góc ECI, nên góc BCD + góc DCI = góc ECI.
Vì góc BCD = góc ECI, nên góc BCD + góc DCI = góc BCD.
Vì góc BCD + góc DCI = góc BCD, nên góc DCI = 0°.
Vì góc DCI = 0°, nên D, C, I thẳng hàng.

d) Gọi góc BAE = x, góc EAC = y, góc ECA = z.
Vì góc BAE = góc EAC + góc ECA, nên x = y + z.
Vì góc BAE = góc EAC, nên x = y.
Vì x = y và x = y + z, nên y = y + z.
Vì y = y + z, nên z = 0°.
Vì z = 0°, nên góc ECA = 0°.
Vì góc ECA = 0°, nên tam giác ECA là tam giác vuông tại E.
Vì DE vuông góc với BC và tam giác ECA là tam giác vuông tại E, nên DE vuông góc với BC.