a) Ta có AK là đường trung bình của tam giác ABC nên AK cắt BC tại K và AK = BK = CK. Vậy tam giác AKB và tam giác AKC là tam giác cân.

b) Ta có AK là đường trung bình của tam giác ABC nên AK vuông góc với BC (đường trung bình của tam giác vuông cũng là đường cao của tam giác).

c) Ta có góc C = 90 độ nên đường thẳng EC là đường vuông góc với BC tại C. Ta cần chứng minh EC song song với AK.

Gọi H là giao điểm của AK và EC. Ta cần chứng minh H là trung điểm của EC.

Vì AK là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có AK = BK = CK. Vì tam giác AKB và tam giác AKC là tam giác cân nên ta có góc BAK = góc CAK.

Vì EC là đường vuông góc với BC nên góc ECB = 90 độ. Vì góc BAK = góc CAK nên góc ECH = góc ECB = 90 độ.

Vậy tam giác ECH là tam giác vuông cân nên ta có EH = HC.

Vậy H là trung điểm của EC nên EC song song với AK.

d) Ta có AK là đường trung bình của tam giác ABC nên AK = BK = CK. Vì tam giác AKB và tam giác AKC là tam giác cân nên ta có góc BAK = góc CAK.

Vì EC song song với AK nên góc ECH = góc CAK.

Vì góc BAK = góc CAK nên góc ECH = góc BAK.

Vậy tam giác ECB là tam giác cân nên ta có CB = CE.