Để tìm số nguyên n sao cho n^2 + 2n + 20 là số chính phương, ta cần giải phương trình:

n^2 + 2n + 20 = m^2

Trong đó, m là một số nguyên.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông.

Ta thêm một số hạng vào cả hai vế của phương trình để tạo thành một khối vuông hoàn thiện:

n^2 + 2n + 1 + 19 = m^2 + 1

(n + 1)^2 + 19 = m^2 + 1

Tiếp theo, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

m^2 - (n + 1)^2 = 19

(m - n - 1)(m + n + 1) = 19

Vì 19 là số nguyên tố, nên ta có các cặp giá trị (m - n - 1, m + n + 1) có thể là (1, 19) hoặc (-1, -19).

Giải hệ phương trình này, ta có các trường hợp sau:

1) m - n - 1 = 1 và m + n + 1 = 19
=> m = 10, n = 8

2) m - n - 1 = -1 và m + n + 1 = -19
=> m = -10, n = -12

Vậy, có hai giá trị n thỏa mãn yêu cầu là n = 8 hoặc n = -12.