Để chứng minh rằng n^2 + n + 1 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n, ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại một số tự nhiên n sao cho n^2 + n + 1 chia hết cho 15. Khi đó, ta có:

n^2 + n + 1 ≡ 0 (mod 15)

Tương đương với:

n^2 + n ≡ -1 (mod 15)

Ta biết rằng -1 ≡ 14 (mod 15), vì vậy phương trình trên có thể viết lại thành:

n^2 + n ≡ 14 (mod 15)

Ta có thể kiểm tra tất cả các giá trị của n từ 0 đến 14 để xem liệu có tồn tại một giá trị nào thỏa mãn phương trình trên hay không.

Khi n = 0, ta có:

0^2 + 0 ≡ 0 (mod 15)

Khi n = 1, ta có:

1^2 + 1 ≡ 2 (mod 15)

Khi n = 2, ta có:

2^2 + 2 ≡ 6 (mod 15)

Khi n = 3, ta có:

3^2 + 3 ≡ 12 (mod 15)

Khi n = 4, ta có:

4^2 + 4 ≡ 4 (mod 15)

Khi n = 5, ta có:

5^2 + 5 ≡ 10 (mod 15)

Khi n = 6, ta có:

6^2 + 6 ≡ 0 (mod 15)

Khi n = 7, ta có:

7^2 + 7 ≡ 8 (mod 15)

Khi n = 8, ta có:

8^2 + 8 ≡ 14 (mod 15)

Khi n = 9, ta có:

9^2 + 9 ≡ 6 (mod 15)

Khi n = 10, ta có:

10^2 + 10 ≡ 12 (mod 15)

Khi n = 11, ta có:

11^2 + 11 ≡ 4 (mod 15)

Khi n = 12, ta có:

12^2 + 12 ≡ 10 (mod 15)

Khi n = 13, ta có:

13^2 + 13 ≡ 0 (mod 15)

Khi n = 14, ta có:

14^2 + 14 ≡ 8 (mod 15)

Như vậy, ta thấy rằng không tồn tại giá trị n nào từ 0 đến 14 thỏa mãn phương trình n^2 + n ≡ 14 (mod 15). Do đó, ta kết luận rằng n^2 + n + 1 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n.