Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a, Ta có:
- Vì đường cao BD vuông góc với AB nên BD là đường cao của tam giác ABC, do đó BD cắt AB tại trung điểm của AB, ký hiệu là N.
- Tương tự, CE cắt AC tại trung điểm của AC, ký hiệu là P.
- Vì M là trung điểm của BC nên MN // BC và MP // BC.
- Vì MN // BC và BD là đường cao của tam giác ABC nên theo định lí Thales ta có: $\frac{IK}{IE} = \frac{MN}{BD}$
- Vì MP // BC và CE là đường cao của tam giác ABC nên theo định lí Thales ta có: $\frac{IE}{IK} = \frac{CE}{MP}$
- Từ hai phương trình trên, ta có: $\frac{IK}{IE} = \frac{MN}{BD} = \frac{CE}{MP}$
- Do đó, IK = IE.

b, Ta có:
- Vì đường cao BD vuông góc với AB nên BD là đường cao của tam giác ABC, do đó BD cắt AB tại trung điểm của AB, ký hiệu là N.
- Tương tự, CE cắt AC tại trung điểm của AC, ký hiệu là P.
- Vì M là trung điểm của BC nên MN // BC và MP // BC.
- Vì MN // BC và BD là đường cao của tam giác ABC nên theo định lí Thales ta có: $\frac{BE}{CD} = \frac{MN}{BD}$
- Vì MP // BC và CE là đường cao của tam giác ABC nên theo định lí Thales ta có: $\frac{CD}{BE} = \frac{CE}{MP}$
- Từ hai phương trình trên, ta có: $\frac{BE}{CD} = \frac{MN}{BD} = \frac{CE}{MP}$
- Do đó, BE + CD = BC.