a) Để phân tích đa thức a thành nhân tử, ta cần tìm các giá trị của x sao cho đa thức bằng 0.

Đa thức a: x^4 + 8x^2 + 12

Đặt t = x^2, ta có:
t^2 + 8t + 12 = 0

Đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử như sau:
(t + 6)(t + 2) = 0

Từ đó, ta có các giá trị của t là -6 và -2. Khi đó, ta có:
x^2 = -6 hoặc x^2 = -2

Vì không có giá trị thực nào mà bình phương của nó là một số âm, nên đa thức a không thể phân tích thành nhân tử.

b) Đa thức b: (x^3 + x + 1)(x^3 + x) - 2

Đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử như sau:
(x^3 + x + 1)(x^3 + x) - 2 = (x^3 + x)^2 + (x^3 + x) - 2

Đặt t = x^3 + x, ta có:
t^2 + t - 2 = 0

Đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử như sau:
(t + 2)(t - 1) = 0

Từ đó, ta có các giá trị của t là -2 và 1. Khi đó, ta có:
x^3 + x = -2 hoặc x^3 + x = 1

Từ đó, ta có các giá trị của x là -1, 0 và 1. Khi đó, ta có:
(x^3 + x + 1)(x^3 + x) - 2 = (x + 1)(x)(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) - 2

Vậy, đa thức b có thể phân tích thành nhân tử là: (x + 1)(x)(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) - 2.

c) Đa thức c: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1

Đa thức trên không thể phân tích thành nhân tử vì không có các giá trị của x sao cho đa thức bằng 0.

d) Đa thức d: -(x^2 + 2)^2 + 4x(x^2 + 2) - 3x^2

Đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử như sau:
-(x^2 + 2)^2 + 4x(x^2 + 2) - 3x^2 = -(x^2 + 2)^2 + 4x(x^2 + 2) - 3x^2

Đặt t = x^2 + 2, ta có:
-t^2 + 4xt - 3x^2

Đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử như sau:
-(t^2 - 4xt + 3x^2) = -(t - x)(t - 3x)

Từ đó, ta có:
-(x^2 + 2)^2 + 4x(x^2 + 2) - 3x^2 = -(x^2 + 2 - x)(x^2 + 2 - 3x)

Vậy, đa thức d có thể phân tích thành nhân tử là: -(x^2 + 2 - x)(x^2 + 2 - 3x).

e) Đa thức e: 81x^4 + 4y^4

Đa thức trên không thể phân tích thành nhân tử vì không có các giá trị của x và y sao cho đa thức bằng 0.