Để tính $(a+b+1)^2$, ta cần tìm giá trị của $a$ và $b$ từ hai phương trình đã cho.

Đầu tiên, ta giải phương trình $a^3-9a^2+28a-13=0$:
Đặt $f(a) = a^3-9a^2+28a-13$, ta có $f(a) = 0$.
Áp dụng định lý Viete, ta có:
$a_1 + a_2 + a_3 = 9$
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1 = 28$
$a_1a_2a_3 = 13$

Tiếp theo, ta giải phương trình $b^3+3b^2+4b-15=0$:
Đặt $g(b) = b^3+3b^2+4b-15$, ta có $g(b) = 0$.
Áp dụng định lý Viete, ta có:
$b_1 + b_2 + b_3 = -3$
$b_1b_2 + b_2b_3 + b_3b_1 = 4$
$b_1b_2b_3 = 15$

Tiếp theo, ta tính $(a+b+1)^2$:
$(a+b+1)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b) + 1$
$= (a^2 + 2ab + b^2) + 2(a+b) + 1$
$= a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 1$

Để tính giá trị của $(a+b+1)^2$, ta cần tìm giá trị của $a^2 + 2ab + b^2$, $2a$, $2b$ và $1$.

Từ định lý Viete, ta có:
$a_1 + a_2 + a_3 = 9$
$b_1 + b_2 + b_3 = -3$

Vì vậy, $a+b = (a_1 + a_2 + a_3) + (b_1 + b_2 + b_3) = 9 + (-3) = 6$.

Từ định lý Viete, ta có:
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1 = 28$
$b_1b_2 + b_2b_3 + b_3b_1 = 4$

Vì vậy, $ab = (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) + (b_1b_2 + b_2b_3 + b_3b_1) = 28 + 4 = 32$.

Từ định lý Viete, ta có:
$a_1a_2a_3 = 13$
$b_1b_2b_3 = 15$

Vì vậy, $ab^2 = (a_1a_2a_3)(b_1b_2b_3) = 13 \cdot 15 = 195$.

Từ đó, ta tính được:
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = 6^2 = 36$
$2a = 2(a_1 + a_2 + a_3) = 2 \cdot 9 = 18$
$2b = 2(b_1 + b_2 + b_3) = 2 \cdot (-3) = -6$
$1 = 1$

Cuối cùng, ta tính $(a+b+1)^2$:
$(a+b+1)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 1$
$= 36 + 18 + (-6) + 1$
$= 49$

Vậy, $(a+b+1)^2 = 49$.