Chứng minh rằng 3 điểm M, I, N thẳng hàng

Ta có tam giác ABC có trọng tâm G, vậy vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ 0 (1).

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CG, ta có vectơ GI = 1/2 vectơ GC (2).

Gọi M, N là các điểm thỏa mãn vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC (3).

Ta có vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ (MG + GC) (vì G là trọng tâm)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MG + 4 vectơ GC
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MG + 4 vectơ (2 vectơ GI)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MG + 8 vectơ GI
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 (vectơ MG + vectơ GI)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MI (vì vectơ MG + vectơ GI = 2 vectơ MI)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ (MC + CI) (vì I là trung điểm CG)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MC + 8 vectơ CI
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MC + 8 (vectơ CG - vectơ CI)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MC + 8 vectơ CG - 8 vectơ CI
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MC + 8 vectơ CG - 8 (1/2 vectơ GC) (vì vectơ CI = 1/2 vectơ GC)
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 8 vectơ MC + 4 vectơ GC
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC + 4 vectơ GC
⇔ vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC + 4 vectơ GC + vectơ GC - vectơ GC
⇔ vectơ MN = (vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC + vectơ GC) + (4 vectơ GC - vectơ GC)
⇔ vectơ MN = vectơ 0 + 3 vectơ GC
⇔ vectơ MN = 3 vectơ GC (4).

Từ (2) và (4), ta có vectơ MN = 3 vectơ GC = 6 vectơ GI = 2 vectơ MI.

Vậy 3 điểm M, I, N thẳng hàng.