Đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn

a) Ta có ME là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E (do E là tiếp điểm của tiếp tuyến ME với đường tròn (O)). Vì M nằm ngoài đường tròn (O), nên ME là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. Do đó, MF cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

b) Gọi I là giao điểm của đoạn MO và đường tròn (O). Ta cần chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Vì MF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E, nên góc MEF = góc MFE (góc nhìn từ tiếp tuyến ME).

Gọi góc MEF = góc MFE = α.

Gọi góc MOF = β.

Ta có góc MEO = 90° (vì ME vuông góc với OM).

Vì tam giác MEO vuông tại E, nên góc MEO = 90° - α.

Góc MEO = góc MOF + góc EOF (góc nội tiếp chắn cung EF).

Vì góc MEO = 90° - α và góc MOF = β, nên góc EOF = 90° - α - β.

Góc EOF = góc EOI (góc nội tiếp chắn cung EF).

Vậy, góc EOI = 90° - α - β.

Vì góc EOI = góc EFI (góc nội tiếp chắn cung EF), nên góc EFI = 90° - α - β.

Gọi góc EFI = γ.

Vì góc MEF = α và góc EFI = γ, nên góc MEF = góc EFI.

Vậy, tam giác MEF cân tại E.

Do đó, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

c) Gọi K là giao điểm của đường kính ED và đường FK.

Vì FK vuông góc với ED tại K, nên K là trung điểm của đoạn ED.

Gọi P là giao điểm của đường MD và đường KF.

Vì K là trung điểm của đoạn ED, nên KP song song với MD.

Gọi Q là trung điểm của đoạn FD.

Vì Q là trung điểm của đoạn FD, nên QP song song với FK.

Vì KP song song với MD và QP song song với FK, nên KP song song với QP.

Vậy, H, P, Q thẳng hàng.