Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta sử dụng phương pháp tìm kiếm số nguyên tố chung (công thức Hoàng gia).

Gọi số tự nhiên cần tìm là n. Theo đề bài, ta có:
n ≡ 6 (mod 11)
n ≡ 12 (mod 17)
n ≡ 24 (mod 29)

Áp dụng công thức Hoàng gia, ta có:
n ≡ a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 (mod M)
Trong đó:
- a1, a2, a3 là các số dư tương ứng với các phương trình.
- M = 11 * 17 * 29 = 5573 (tích của các số chia).
- M1 = M / 11 = 5573 / 11 = 507
- M2 = M / 17 = 5573 / 17 = 327
- M3 = M / 29 = 5573 / 29 = 192
- y1, y2, y3 là các số nguyên tố chung của M1, M2, M3 tương ứng.

Tìm y1:
327 * y1 ≡ 1 (mod 11)
y1 ≡ 8 (mod 11)

Tìm y2:
192 * y2 ≡ 1 (mod 17)
y2 ≡ 3 (mod 17)

Tìm y3:
507 * y3 ≡ 1 (mod 29)
y3 ≡ 7 (mod 29)

Áp dụng công thức Hoàng gia:
n ≡ 6 * 507 * 8 + 12 * 327 * 3 + 24 * 192 * 7 (mod 5573)
n ≡ 24336 + 11664 + 32256 (mod 5573)
n ≡ 68256 (mod 5573)
n ≡ 68256 - 5573 * 12 (mod 5573)
n ≡ 68256 - 66876 (mod 5573)
n ≡ 1380 (mod 5573)

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện là 1380.