a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Mà HE vuông góc với AB, nên HE song song với BC. Tương tự, AF vuông góc với AC, nên AF song song với BC. Do đó, tứ giác AEHF có hai cạnh đối nhau là song song và bằng nhau, nên là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Ta cần chứng minh tứ giác DHEF là hình bình hành.

Vì D là điểm đối xứng của A qua F, nên AD = AF và AD song song với AF.

Ta có HE song song với AB và AF song song với BC, nên HE song song với AF.

Do đó, tứ giác DHEF có hai cạnh đối nhau là song song và bằng nhau, nên là hình bình hành.

c) Để tứ giác AEHF là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AE = AF.

Vì AE = AF khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A.