a) Tứ giác AKCM là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM là đường cao cũng như đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, I là trung điểm của AC và M là trung điểm của BC. Vì vậy, ta có AM = MC và AI = IC, từ đó suy ra AKCM là hình chữ nhật.

b) Ta cần chứng minh AKMB là hình vuông. Ta có MI = IK và AM = MC (vì AKCM là hình chữ nhật). Vì vậy, tam giác MIK là tam giác cân tại I. Do đó, góc MIK = góc MKI. Nhưng góc MIK + góc MKI = 180° (do tổng các góc trong tam giác là 180°). Vì vậy, góc MIK = góc MKI = 90°. Do đó, AKMB là hình vuông.

c) Để tứ giác AKCM là hình vuông, ta cần có MI = IK và AK = KM. Vì MI = IK, ta cần tìm điều kiện để AK = KM.

Ta có AM = MC (vì AKCM là hình chữ nhật), từ đó suy ra AM = MC = AK + KM. Vì vậy, AK + KM = 2AK. Điều này chỉ xảy ra khi AK = KM. Vậy, điều kiện để tứ giác AKCM là hình vuông là AK = KM và MI = IK.