Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác cân và tam giác vuông.

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân nên BM = CM. Vì tam giác CEM và BDM là tam giác vuông cân, nên CE = DM và BD = EM. Từ đó suy ra DM = EN.

b) Gọi O là giao điểm của đường thẳng qua i vuông góc với MN và phân giác góc BAC. Ta cần chứng minh O là điểm cố định khi điểm D chạy trên BC.

Gọi H là hình chiếu của D lên BC. Ta có DH ⊥ BC và DH = MN (do DM = EN). Ta cần chứng minh OH ⊥ BC.

Vì tam giác CEM và BDM là tam giác vuông cân, nên CE ⊥ BC và BD ⊥ BC. Do đó, CE // BD và CM // BM. Từ đó suy ra tam giác CEM và BDM đồng dạng.

Vì CE = DM và CM = BM, nên tam giác CEM và BDM là hai tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra góc CEM = góc BDM.

Vì MN // BC, nên góc MNE = góc BDM. Vì góc CEM = góc BDM, nên góc CEM = góc MNE.

Vì O nằm trên phân giác góc BAC, nên góc BAO = góc CAO. Vì góc CEM = góc MNE, nên góc CEO = góc NEO.

Vì CE = DM và CM = BM, nên tam giác CEO và BDM là hai tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra góc CEO = góc BDM.

Vì góc CEO = góc BDM và góc CEM = góc MNE, nên góc CEO = góc MNE.

Vậy ta có góc CEO = góc MNE và góc BAO = góc CAO, nên O là điểm cố định khi điểm D chạy trên BC.

c) Ta đã chứng minh trong phần b rằng O là điểm cố định khi điểm D chạy trên BC. Vì O nằm trên phân giác góc BAC, nên góc BAO = góc CAO. Vì O là điểm cố định, nên góc BAO = góc CAO là góc cố định.

Vì OC ⊥ AC và OA ⊥ AB, nên góc BAO = góc CAO = 90°. Từ đó suy ra OC ⊥ AC.

d) Để vẽ hình, ta cần biết các kích thước và vị trí của các điểm và đường thẳng trong bài toán.