Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-1) hàm số: f(x)=x/(x+1)(x+2)

Để khai triển thành chuỗi lũy thừa của hàm số f(x) = x/(x+1)(x+2), ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển thành tổng các phân thức đơn giản.

Đầu tiên, ta phân tích hàm số f(x) thành các phân thức đơn giản:
f(x) = x/[(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2)

Tiếp theo, ta sẽ tìm các hệ số A và B bằng cách nhân cả hai vế của phương trình trên với (x+1)(x+2):
x = A(x+2) + B(x+1)

Đặt x = -1, ta có:
-1 = A(1) + B(0)
A = -1

Đặt x = -2, ta có:
-2 = A(0) + B(-1)
B = 2

Vậy, ta có phân tích thành các phân thức đơn giản:
f(x) = -1/(x+1) + 2/(x+2)

Tiếp theo, ta sẽ khai triển các phân thức đơn giản thành chuỗi lũy thừa.

Đối với phân thức -1/(x+1), ta có:
-1/(x+1) = -1/(1-(-x)) = -1/(1-(-x)) = -1/(1-x) = -1/(1-(-1)) * (1/(1-x))^1

Đối với phân thức 2/(x+2), ta có:
2/(x+2) = 2/(2-(-x)) = 2/(2-(-x)) = 2/(2+x) = 2/(2-(-2)) * (1/(1+x))^1

Vậy, ta có khai triển thành chuỗi lũy thừa của hàm số f(x) = x/(x+1)(x+2) là:
f(x) = -1/(1-(-1)) * (1/(1-x))^1 + 2/(2-(-2)) * (1/(1+x))^1
= -1/(2) * (1/(1-x))^1 + 2/(4) * (1/(1+x))^1
= -1/2 * (1/(1-x)) + 1/2 * (1/(1+x))

Vậy, chuỗi lũy thừa của hàm số f(x) = x/(x+1)(x+2) là:
f(x) = -1/2 * (1/(1-x)) + 1/2 * (1/(1+x))