Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành

a) Ta có BE = EF (vì E là trung điểm của AB) và BF // EI (do đường thẳng EI song song với BF). Vậy tứ giác BEIF là hình bình hành.

b) Để tứ giác AGCI là hình vuông, ta cần và đủ có hai điều kiện sau:
- AG = GI (đường chéo AC chia tứ giác AGCI thành hai tam giác cân AGC và GCI)
- AG vuông góc với GI (đường chéo AC chia tứ giác AGCI thành hai tam giác vuông AGC và GCI)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
- AG = AC (vì G là trung điểm của AC)
- AG vuông góc với GI (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.