Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học và định lí.

a) Để tính độ dài dây BC, ta sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông OHC:
OH^2 + HC^2 = OC^2
9^2 + HC^2 = 15^2
81 + HC^2 = 225
HC^2 = 225 - 81
HC^2 = 144
HC = √144
HC = 12 cm

Vậy độ dài dây BC là 2 x HC = 2 x 12 = 24 cm.

b) Để chứng minh rằng I thuộc đường tròn tâm O, đường kính EB, ta sử dụng định lí đối xứng qua một điểm:
Vì E là điểm đối xứng của A qua H, nên ta có AH = HE.
Vì O là tâm đường tròn, nên OA = OB = OE.
Vì tam giác OHE là tam giác đều (vì OA = OB = OE), nên ta có OH = HE.
Vậy ta có OH = HE = AH.

Do đó, tam giác OHI là tam giác cân (vì OH = HI).
Vì OI là đường phân giác của góc HOE, nên ta có OI vuông góc với HE.
Vậy I thuộc đường tròn tâm O, đường kính EB.

c) Để chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta sử dụng định lí về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp:
Gọi α là góc HIO.
Vì tam giác OHI là tam giác cân, nên ta có góc OHI = góc OIH = α.
Vì tam giác OHE là tam giác đều, nên ta có góc OHE = góc OEH = 60°.
Vậy góc HOE = 180° - góc OHE - góc OEH = 180° - 60° - 60° = 60°.

Vì HI là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc HOE = góc HIJ (với J là điểm tiếp xúc của HI với đường tròn).
Vậy góc HIJ = 60°.

Vì tam giác OHI là tam giác cân, nên góc OIH = góc OHI = α.
Vậy góc OIJ = góc OIH + góc HIJ = α + 60°.

Vì tam giác OIJ là tam giác nội tiếp, nên góc OIJ = 180° - góc OJI.
Vậy α + 60° = 180° - góc OJI.
Góc OJI = 180° - α - 60° = 120° - α.

Vì tam giác OJI là tam giác ngoại tiếp, nên góc OJI = góc OIE.
Vậy 120° - α = góc OIE.

Vì tam giác OIE là tam giác đều, nên góc OIE = 60°.
Vậy 120° - α = 60°.

Từ đó suy ra α = 60°.

Vậy HI là tiếp tuyến của đường tròn (O).