Để chứng minh các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác vuông và các đường thẳng đồng quy.

1. CM CH=CF:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng d vuông góc với AE cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có:
∠CAE = 90° (đường thẳng d vuông góc với AE)
∠CAE = ∠CAH (góc giữa đường cao và cạnh huyền của tam giác vuông)
Vậy ta có ∠CAH = 90°.
Tương tự, ta có ∠CBF = 90°.
Do đó, ta có CH ⊥ AB và CF ⊥ AB.
Vậy CH = CF.

2. CM FC là phân giác của góc BFE:
Ta có CE = CA (theo đề bài).
Vì CE = CA, nên tam giác CEA là tam giác cân tại C.
Do đó, ta có ∠CEA = ∠CAE.
Vì đường thẳng d vuông góc với AE, nên ta có ∠CEA = ∠CEF.
Vậy ta có ∠CEF = ∠CAE.
Tương tự, ta có ∠CFB = ∠CBA.
Do đó, ta có ∠CEF = ∠CFB.
Vậy ta có FC là phân giác của góc BFE.

3. CK ⊥ BF:
Ta có EK || BC (theo đề bài).
Vì EK || BC, nên ta có ∠EKB = ∠BCA (cùng chắn cung BC trên đường thẳng d).
Vì ∠BCA = ∠CAE (tam giác vuông ABC), nên ta có ∠EKB = ∠CAE.
Vậy ta có EK ⊥ AE.
Tương tự, ta có CK ⊥ BF.

Vậy ta đã chứng minh được các điều kiện đã cho.