Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M, D, E lầ lượt là trung điểm của BC, AB, AC

a) Ta có:
- M là trung điểm của BC nên BM = MC.
- D là trung điểm của AB nên AD = DB.
- E là trung điểm của AC nên AE = EC.
Vậy ta có: MD = MB và ME = MC.
Do đó, tam giác MDB = tam giác MEC (theo định nghĩa tam giác cân).

b) Gọi N' là điểm đối xứng của M qua E.
Ta có: ME = MN' (vì E là trung điểm của AC).
Vì tam giác MDB = tam giác MEC (theo phần a), nên ta có: MD = MN'.
Vậy tam giác MND là tam giác cân tại N'.
Nhưng M là trung điểm của BC nên ta có: MN' = MC.
Do đó, MN' = MC = AC.
Vậy MN = AC (vì N là điểm đối xứng của M qua E).

c) Ta có:
- KI = KE (theo định nghĩa đối xứng).
- KI vuông góc với KE (do KI là đường cao của tam giác KME).
Vậy tam giác KIE là tam giác vuông cân tại I.
Do đó, KI = IE.
Vì E là trung điểm của AC nên ta có: AE = EC.
Vậy tam giác AEC là tam giác cân tại E.
Nhưng ta đã chứng minh được tam giác MEC = tam giác MDB (theo phần a).
Vậy tam giác MICE là hình thoi (vì có 2 cặp cạnh bằng nhau và 1 cặp góc bằng nhau).