Cho tam giác ABC cân tại A tia phan giác của góc BAC cắt BC tại I

a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên góc BAC là góc nhọn và góc BAI là góc phân giác của góc BAC. Vì vậy, ta có IB là đường phân giác của góc ABC. Tương tự, ta có IC là đường phân giác của góc ACB. Vậy IB = IC.

b) Ta có tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Vì tam giác ABC cân nên góc BAC = góc BCA. Ta có góc BAI là góc phân giác của góc BAC nên góc BAI = góc IAC. Vậy ta có tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác đồng dạng (cùng có 1 góc bằng nhau). Vì vậy, ta có AI/AB = AC/AI. Từ đó suy ra AI^2 = AB x AC. Vì tam giác ABC cân nên AB = AC. Vậy AI^2 = AB^2. Từ đó suy ra AI = AB. Vậy AI = BC.

c) Ta có BG = CE. Vì tam giác ABC cân nên góc BAC = góc BCA. Ta có góc BAI là góc phân giác của góc BAC nên góc BAI = góc IAC. Vậy ta có tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác đồng dạng (cùng có 1 góc bằng nhau). Vì vậy, ta có AI/AB = AC/AI. Từ đó suy ra AI^2 = AB x AC. Vì tam giác ABC cân nên AB = AC. Vậy AI^2 = AB^2. Từ đó suy ra AI = AB. Vậy AI = BC.

Từ a) và b) ta có IB = IC và AI = BC. Vậy tam giác IBC và tam giác AIC là tam giác đồng dạng (cùng có 1 cặp cạnh bằng nhau và 1 cặp góc bằng nhau). Vì vậy, ta có góc IBC = góc IAC.

Ta có BG = CE và góc BGC = góc CEB (do BG // CE). Vì tam giác BGC và tam giác CEB có 2 cạnh bằng nhau và 1 cặp góc bằng nhau nên chúng là tam giác đồng dạng. Vậy, ta có góc GBC = góc ECB.

Từ đó, ta có góc IBC = góc IAC = góc GBC = góc ECB. Vậy tam giác IBC và tam giác GEC là tam giác đồng dạng (có 2 cặp góc bằng nhau). Vì vậy, ta có IB/GE = BC/EC. Từ đó suy ra IB x EC = BC x GE.

Ta có BG = CE nên BG - GE = CE - GE. Từ đó suy ra BE = CG.

Vậy tam giác BEG và tam giác CGE là tam giác đồng dạng (có 2 cặp cạnh bằng nhau). Vì vậy, ta có góc BEG = góc CGE.

Ta có góc BEG = góc CGE = góc BGC = góc CEB. Vậy tam giác BEG và tam giác CEB là tam giác đồng dạng (có 2 cặp góc bằng nhau). Vì vậy, ta có BG/CE = BE/EC. Từ đó suy ra BG x EC = BE x EC.

Từ hai biểu thức IB x EC = BC x GE và BG x EC = BE x EC, ta có IB x EC = BG x EC. Vì EC khác 0 nên ta có IB = BG.

Từ a) ta có IB = IC. Từ đó suy ra IB = IC = BG.

Vậy ta có IB = IC.

d) Ta có góc BAI = góc IAC (do góc BAI là góc phân giác của góc BAC). Vì vậy, ta có tam giác ABI và tam giác AIC là tam giác đồng dạng (có 2 cặp góc bằng nhau). Vì tam giác ABC cân nên AB = AC. Vậy ta có tam giác ABI và tam giác AIC là tam giác đồng dạng (có 2 cặp cạnh bằng nhau và 1 cặp góc bằng nhau). Vì vậy, ta có góc ABI = góc AIC.

Ta có góc ABI = góc AIC = góc BAI + góc IAC = góc BAC. Vậy tam giác ABI và tam giác ABC là tam giác đồng dạng (có 2 cặp góc bằng nhau). Vì vậy, ta có AB/BC = AI/AB. Từ đó suy ra AB^2 = AI x BC. Vì tam giác ABC cân nên AB = BC. Vậy AB^2 = AI x AB. Từ đó suy ra AB = AI.

Từ a) ta có IB = IC. Từ đó suy ra AB = AI = BC.

Vậy ta có AI = BC.