Cho tam giác abc các đường trung trực BD và CE

Để chứng minh MN//BC, ta cần chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác điều hòa.

Vẽ hình như sau:

[IMAGE]

Ta có:
- Đường trung trực của tam giác ABC là đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC.
- Đường trung trực của BD là đường thẳng đi qua trung điểm của BD và vuông góc với BD.
- Đường trung trực của CE là đường thẳng đi qua trung điểm của CE và vuông góc với CE.

Gọi M' là giao điểm của đường trung trực của BD và CE. Ta cần chứng minh M' nằm trên đường trung trực của BC.

Ta có:
- BM' = CM' (vì M' nằm trên đường trung trực của BD và CE)
- BM' = CM' = BC/2 (vì M' nằm trên đường trung trực của BD và CE)

Vậy M' là trung điểm của BC.

Gọi N' là giao điểm của AI và BD. Ta cần chứng minh N' nằm trên đường trung trực của BC.

Ta có:
- BN' = CN' (vì N' nằm trên đường trung trực của AI và BD)
- BN' = CN' = BC/2 (vì N' nằm trên đường trung trực của AI và BD)

Vậy N' là trung điểm của BC.

Do đó, tứ giác BM'N'C là tứ giác điều hòa.

Từ đó, ta có MN//BC (vì tứ giác điều hòa có cặp cạnh đối xứng qua đường chéo).

Vậy ta đã chứng minh được rằng MN//BC.