Để giải bài toán này, ta ký hiệu số học sinh của trường là \( N \).

### Bước 1: Tìm điều kiện cho \( N \)

Theo đề bài, ta có các điều kiện:

1. Khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15 học sinh, tức là:
\[
N \equiv 15 \mod 20
\]
\[
N \equiv 15 \mod 25
\]
\[
N \equiv 15 \mod 30
\]

2. Khi xếp hàng 41 thì vừa đủ, tức là:
\[
N \equiv 0 \mod 41
\]

### Bước 2: Rút gọn các điều kiện

Từ điều kiện \( N \equiv 15 \mod 20 \), ta có thể viết \( N \) dưới dạng:
\[
N = 20k + 15
\]

Tương tự từ điều kiện \( N \equiv 15 \mod 25 \):
\[
N = 25m + 15
\]
Từ đây, ta có thể chuyển đổi thành:
\[
20k + 15 = 25m + 15 \implies 20k = 25m \implies 4k = 5m
\]
Điều này có nghĩa là \( 4k \) chia hết cho 5, tức là \( k \) là bội số của 5. Ta có thể để \( k = 5t \):
\[
N = 20(5t) + 15 = 100t + 15
\]

### Bước 3: Kiểm tra điều kiện tiếp theo

Với \( N = 100t + 15 \), thay vào điều kiện \( N \equiv 0 \mod 41 \):
\[
100t + 15 \equiv 0 \mod 41 \implies 100t \equiv -15 \mod 41
\]
Tính \( 100 \mod 41 \):
\[
100 \div 41 = 2 \rightarrow 100 - 82 = 18 \implies 100 \equiv 18 \mod 41
\]
Nên:
\[
18t \equiv -15 \mod 41 \implies 18t \equiv 26 \mod 41
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình

Ta cần giải phương trình này bằng cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ngược:
Giải:
\[
18t \equiv 26 \mod 41
\]
Ta giảm hệ số của phương trình:
- \( 18 \cdot 1^{-1} \equiv 18^{-1} \mod 41 \)

Sử dụng thuật toán Euclid, ta có:
\[
18k \mod 41
\]
Giải \( t \):
Khi \( t = 10 \), ta đẩy lên \( N = 100t + 15 < 1000 \).

### Kết luận

Ta kiểm tra các giá trị \( t \):
- Khi \( t = 0 \): \( N = 15 \)
- Khi \( t = 1 \): \( N = 115 \)
- Khi \( t = 2 \): \( N = 215 \)
- Khi \( t = 3 \): \( N = 315 \)
- Khi \( t = 4 \): \( N = 415 \)
- Khi \( t = 5 \): \( N = 515 \)
- Khi \( t = 6 \): \( N = 615 \)
- Khi \( t = 7 \): \( N = 715 \)
- Khi \( t = 8 \): \( N = 815 \)
- Khi \( t = 9 \): \( N = 915 \)
- Khi \( t = 10 \): \( N = 1015 \) không phù hợp.

Chỉ số có thể thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán là \( **915** \).

Vậy số học sinh của trường là **915**.