Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC

a) Ta có AM là đường trung bình của tam giác ADC nên AM = MD. Mà AM = MB nên ta có AM = MD = MB. Do đó, tam giác AMB là tam giác cân tại M.

b) Gọi I là giao điểm của BI và AD, K là giao điểm của CK và AD. Ta cần chứng minh BI//CK và AI = DK.

Vì M là trung điểm của AD nên ta có AM = MD. Mà AM = MB nên ta có MB = MD. Do đó, tam giác MBI là tam giác cân tại M.

Vì tam giác MBI là tam giác cân tại M nên góc BMI = góc BIM.

Vì tam giác AMB là tam giác cân tại M nên góc BAM = góc BMA.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên góc BAM + góc BMA = 90 độ.

Từ các quan hệ trên, ta có góc BMI = góc BIM = 90 độ - góc BAM = 90 độ - góc BMA = góc BMC.

Vậy ta có BI//CK.

Từ tam giác MBI và tam giác MCK là tam giác cân tại M, ta có AI = DK.

c) Ta cần chứng minh ACD = 90 độ và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AD nên ta có AM = MD. Mà AM = MB nên ta có MB = MD. Do đó, tam giác MBD là tam giác cân tại M.

Vì tam giác MBD là tam giác cân tại M nên góc BMD = góc BDM.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên góc BMD + góc BDM = 90 độ.

Từ các quan hệ trên, ta có góc BMD = góc BDM = 45 độ.

Vậy ta có ACD = 90 độ.

Vì tam giác MBD là tam giác cân tại M nên MB = MD.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên AB = AC.

Vậy ta có AD = AB + BD = AC + CD = BC.

d) Để AI = IM = MK = KD, ta cần chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.