Cho   vuông tại A (AB

a. Ta có:
$\angle BHD = \angle BAC$ (do $HD \perp AB$ và $AH \perp BC$)
$\angle BAH = \angle BCA$ (do $AH \perp BC$ và $AB \perp AC$)
Vậy $\triangle BHD \sim \triangle BAC$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC}$ (theo tỉ lệ)

b. Ta có:
$\angle HOD = \angle HCD$ (do $OD \parallel DH$ và $OH \parallel AC$)
$\angle HAD = \angle HAF$ (do $AD \parallel OF$ và $AH \parallel BC$)
Vậy $\triangle HOD \sim \triangle HAC$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{HD}{HA} = \frac{HO}{HC}$ (theo tỉ lệ)
$\Rightarrow \frac{HD}{HA} = \frac{HO}{HC} = \frac{HE}{HF}$ (do $OF \parallel DH$ và $OC \parallel AH$)
$\Rightarrow HD = HE$

c. Ta có:
$\angle BHI = \angle BCI$ (do $BI \parallel AC$ và $BH \parallel CI$)
$\angle BAH = \angle BCA$ (do $AH \perp BC$ và $AB \perp AC$)
Vậy $\triangle BHI \sim \triangle BAC$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{BI}{BA} = \frac{BH}{BC}$ (theo tỉ lệ)
$\Rightarrow BI \parallel AC$

d. Ta có:
$\angle KHB = \angle KCB$ (do $BH \parallel CI$ và $AB \parallel BC$)
$\angle GHB = \angle GAB$ (do $BH \parallel CI$ và $AF \parallel AB$)
Vậy $\triangle KHB \sim \triangle KCB$ và $\triangle GHB \sim \triangle GAB$ (theo góc)
$\Rightarrow \frac{KH}{KC} = \frac{KB}{KB} = 1$ và $\frac{GH}{GA} = \frac{GB}{GB} = 1$ (theo tỉ lệ)
$\Rightarrow KH = KC$ và $GH = GA$
Vậy K, H, G thẳng hàng.