Từ điểm S nằm ngoài (O; R ) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB

a, Chứng minh: SO vuông góc AB.

Ta có:
- SA là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên SA vuông góc với SO (đường phân giác góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc).
- SB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên SB vuông góc với SO (đường phân giác góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc).

Vậy SO vuông góc AB.

Độ dài đoạn thẳng AB:
Ta có SA = 8 cm và R = 6 cm.
Theo định lý Pitago, ta có:
AB² = SA² + SB²
AB² = 8² + 6²
AB² = 100
AB = 10 cm.

b, Chứng minh: 4 điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Vì SA và SB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc ASB = 90°.
Vì SO vuông góc AB, nên góc ASO = 90°.
Vậy góc ASB = góc ASO = 90°.
Do đó, 4 điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Tâm của đường tròn là giao điểm của hai đường phân giác góc ASB và ASO, kí hiệu là M.
Vì góc ASB = góc ASO = 90°, nên đường phân giác góc ASB cũng là đường phân giác góc ASO.
Vậy tâm của đường tròn là giao điểm của đường phân giác góc ASB và ASO, kí hiệu là M.

Bán kính của đường tròn là độ dài đoạn thẳng MO.
Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên SA vuông góc với SO.
Vậy đường phân giác góc ASO cũng là đường phân giác góc OSM.
Vậy MO là đường phân giác góc ASO.
Do đó, M là trung điểm của đoạn thẳng SA.
Vậy MO = MA = 8/2 = 4 cm.

c, Vẽ đường kính BD; SD cắt (O) tại E. Chứng minh: SH.SO = SE.SD và góc EHO + góc EDO = 180°.

Ta có:
- BD là đường kính của đường tròn (O; R), nên BD đi qua tâm O.
- SD cắt (O) tại E, nên SE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc SEO = 90°.
- SH là đường cao của tam giác SOA, nên SH vuông góc với OA.
- SO vuông góc AB, nên góc EHO = 90°.
- DO là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc EDO = 90°.

Vậy SH.SO = SE.SD và góc EHO + góc EDO = 180°.

d, Vẽ đường tròn đường kính AB cắt đoạn thẳng BD tại K, AK cắt SD tại P. Chứng minh: PH // BD.

Ta có:
- Đường tròn đường kính AB cắt đoạn thẳng BD tại K, nên K là trung điểm của đoạn thẳng BD.
- AK cắt SD tại P, nên P là trung điểm của đoạn thẳng AK.
- Vì K là trung điểm của BD và P là trung điểm của AK, nên KP // BD và KP = 1/2 BD.

Ta cần chứng minh PH // BD.
Ta có:
- SH là đường cao của tam giác SOA, nên SH vuông góc với OA.
- SO vuông góc AB, nên góc EHO = 90°.
- DO là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên góc EDO = 90°.
- KP // BD và KP = 1/2 BD.

Vậy PH // BD.